2013年度大学院都市防災学特論学生課題と解答例

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出題：2013年11月18日
解答：2013年12月9日
第2回　確率現象の扱い方　解説：長谷川修一（1講座）
ある埋め立て地で，汚染物質漏洩の疑いがもたれている。漏洩の事実を確認するため、井戸での監視が検討されている。2箇所の井戸の位置は下図に示すとおりである。　


　　　　　　　　　　　　　　　●B


円/楕円: 埋め立て地


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　●A


漏洩があったとすれば、井戸Aで漏洩を検知できる確率は80％、井戸Bでは90％である。埋め立て地からの漏洩がなければ，いずれの井戸においても汚染物質を検知することはない。井戸設置前、技術者は漏洩発生の確率を70％と考えていた。

（a）井戸Aが設置され、汚染物質が検知されなかったとしよう。技術者はこのとき、漏洩確率をどのように考えるだろうか。
（b）両方の井戸が設置され、漏洩を検知するという事象は2つの井戸で独立であるとする。
　（1）少なくとも一方の井戸で汚染物質が検知される確率はいくらか。
　（2）井戸で汚染物質が検知されなかった場合、漏洩の発生はなかったと結論づけることについて、技術者はどの程度の確信を持ち得るだろうか。
(c) 井戸Aと井戸Bの設置費用は同額であり、井戸設置費用が1箇所分しかない場合、どの井戸を設置するべきであろうか。

【解答例】
A：井戸Aで漏洩を観測した事象
B：井戸Bで漏洩を観測した事象
L：実際に漏洩した事象
このとき、
P(A|L)＝0.8：実際に漏洩しているときに井戸Aで漏洩を観測する確率は80%
P(B|L)=0.9：実際に漏洩しているときに井戸Bで僧衣医を観測する確率は70%
P(L)=0.7：実際に漏洩発生の事前確率は70%
また、以下のことは自明とする。
：漏洩していないときに井戸A・Bで漏洩を観測しない確率100%

(a)ベイズの定理より井戸Aで漏洩が観測されなかったときの漏洩発生確率P(L|は

P(L|
ここに、
故に、P(L|＝0.2×0.7/0.44＝0.318

(b)

(1)0.7=0.98

(2)ベイズの定理より、実際に漏洩していないという条件の下で、井戸A及びB共に漏洩が観測されない確率は

ここに、

故に、｜

(c)
井戸Aと井戸Bの精度比較をする。
漏洩していたときの検出精度は
　井戸A：P(A|L)＝0.8
　井戸B：P(B|L)＝0.9
このとき、能力的にB>A　と判断できる。
漏洩しているのに検出しない非検出確率は
　井戸A：　←(1)より
　井戸B：P(| L)P(L) / P() = 0.1×0.7 / (0.1×0.7 + 1×0.3) ≅ 0.189 ←同様に
能力的に、B>A　と判断できる。

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出題：2013年12月9日
解答：2013年12月16日
第3回　連続的確率分布関数の扱い方　解説：伊藤知明(9講座)
ある土地区画からの雨水流出量[m3/sec]は、次の確率密度関数に従う確率変数モデルで表される。

　　　　　　　　　　＝0　　　　　その他の領域

(a) 定数cを定めて確率密度関数(PDF)を描け。
(b) この流出量は容量4m3/secの排水管で排出されるが、流出量がこの容量を超えると洪水が発生する。大雨の後洪水が発生した場合、流出量が5m3/sec未満である確率はいくらか。
(c) ある技術者が、現在の排水管を容量5m3/secの大口径排水管で置き換えることを検討している。次の大雨までに敷設替えを完了できる確率は60％であるとして、次の大雨で洪水が発生する確率はいくらか。

【解答例】
(a)確率変数Xは毎秒の流出量である。x[m3/sec]
PDFは積分すれば1.0となるので

ゆえに、


(b)累積雨水量は確率変数XのCDFで与えられるので、

　　0≦x≦6
洪水が発生した（X>4）という条件で、流出量5m3/sec未満（X<5）の確率は、


(c)ここで、事象Cを考える。
事象C：次の大雨までに排水管の置き換え作業完了。
このとき、P(C)=0.6
敷設完了で洪水発生したとすると、その時、X>5
敷設未完了で洪水発生したとすると、その時、X>4
よって、洪水が発生する確率P（洪水）は
)

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出題：2013年12月16日
解説：2013年12月24日
第4回　同時確率の扱い方：解説　安田亨平（1講座）

ある場所における大雨時の降水量X[in]と流出量Y[feet3]の同時PMFは以下のように表される。

	X=1	X=2	X=3
Y=10	0.05	0.15	0.0
Y=20	0.10	0.25	0.25
Y=30	0.0	0.10	0.10

(1) 次の大雨で降水量が2[in]以上となり、かつ流出量が20[feet3]を超過する確率はいくらか。
(2) 大雨の後、降雨量が2[in]を示したとする。流出量が20[feet3]以上となる確率はいくらか。
(3) XとYは独立であるか。その理由を論証せよ。
(4) 流出量の周辺PMFを求め、図示せよ。
(5) 降水量が2[in]の大雨における流出量のPMFを求め、図示せよ。
(6) 降水量と流出量の相関係数を求めよ。

【解答例】
(1)　P(X≧2 and Y>20)=0.1+0.1=0.2
(2) P(Y≧20｜X=2)=(0.25+0.1)／(0.15+0.25+0.1)＝0.35／0.5＝0.7
(3)　P(Y ≧20｜X=2)＝0.7である。XとYが独立ならば、Xに関係なく、P(Y≧20)＝0.7とらなければならない。
しかし、P(Y≧20)＝0.10+0.25+0.25+0.0+0.10+0.10＝0.8≠0.7
よって、YはXの影響を受けているので、両者は独立ではない。
(4)　P(Y=10)＝0.05+0.15+0.0＝0.20
　　P(Y=20)＝0.10+0.25+0.25＝0.60
　　P(Y＝30)＝0.0+0.10+0.10＝0.20
よって、Yの周辺PMFは


(5)X=2の条件付きPMFを求めれば良い。
　　　P(Y=10｜X=2)＝0.15／（0.15+0.25+0.10）＝0.15／0.5＝0.30
　　　P(Y=20｜X=2)＝0.25／0.5＝0.50
　　　P(Y=30｜X=2)＝0.10／0.5＝0.20
よって、X=2の条件付きYのPMF:は


(6)　相関係数は以下の式で与えられる。


Xの周辺PMFは
　X-1については0.05+0.10+0.0＝0.15
　X=2については0.15+0.25+0.10＝0.5
　X=3については0.0+0.25+0.10＝0.35


=1×(0.05+0.10+0.0)＋2×(0.15+0.25+0.10)+3×(0.0+0.25+0.10)
=1×0.15＋2×0.5＋3×0.35
　　 ＝2.2
σX2＝0.15×(1－2.2)2＋0.5×(2－2.2)2＋0.35×(3－2.2)2
　　＝0.46

E(Y)＝0.2×10+0.6×20＋0.2×30
　　＝20
σY2＝0.2×(10－20)2＋0.6×(20－20)2＋0.2×(30－20)2
　　＝40
E[XY]=ΣxyP(x,y)
　　　＝1×10×0.05＋2×10×0.15＋1×20×0.10＋2×20×0.25＋3×20×0.25＋2×30×0.10＋3×30×0.10
　　　＝45.5
∴　ρXY=（45.5－2.2×20）／√(0.46×40)
　　　＝0.35

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出題：2014 年1月14 日
解説：2014年1月27日
第6回　ポアソン過程問題：解説　木村裕崇（9講座）


次の表はある街における1994年から2003年までの10年間の洪水発生の記録である。

年	洪水発生回数	年	洪水発生回数
1994	1	1999	0
1995	0	2000	2
1996	1	2001	0
1997	1	2002	0
1998	0	2003	1

洪水発生はポアソン過程でモデル化できるとし、以下の設問に答えよ。
（1）上の記録に基づき、今後3年間におけるこの街の洪水発生回数が1～3回である確率を求めよ。

（2）ポアソン過程でモデル化し、観測値と理論値とを比較せよ。

【解答例】
（1）平均値ν＝発生回数／年＝6／10＝0.6
よって、

P(Xt＝1,2,3)＝＝
　　＝(1.8+1.62+0.972)×0.165＝0.725

(2)表を書き直すと

発生回数　ｋ	10年間の観測数	理論値
0	5	5.5
1	4	3.3
2	1	1.0
3	0	0.2

10年間における発生回数は
　k=0　e－0.6＝0.549　→10年間では　0.549×10＝5.5回

　k=1　　∴0.329×10＝3.3

　k=2　　∴0.0988×10＝１

　k=3　　∴0.0198×10=0.2


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